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Identificar las características particulares de una ecuación diferencial

Semana: 2
Tiempo: 2 horas/teórico-practico.

Contenido:

Herramientas:

Cuando debas hacer algo que se te resista
dí simplemente: Debo hacerlo ahora mismo
y no puedo dejarlo para más tarde,
y empieza a actuar.
Anónimo

TEMA 1. Introducción

Al estudiar un fenómeno físico, con frecuencia no es posible hallar de inmediato las leyes físicas que enlazan las magnitudes que caracterizan dicho fenómeno. Pero, al mismo tiempo, es fácil establecer la dependencia entre esas magnitudes y sus derivadas o sus diferenciales. Así obtenemos ecuaciones que contienen las funciones desconocidas, escalares o vectoriales, bajo el signo de derivada o de diferencial.

Las ecuaciones en las cuales la función desconocida, escalar o vectorial, se encuentra bajo el signo de derivada o de diferencial, se llaman ecuaciones diferenciales.

Antes de empezar, en el curso de Cálculo Diferencial el estudiante aprendió que, dada una función clip_image002, la derivada

clip_image004

es también una función de “x” y se encuentra mediante alguna regla apropiada. Por ejemplo, si clip_image006entonces

clip_image008 o bien clip_image010

El problema que enfrentamos en este curso no es: dada una función clip_image002[1], encontrar su derivada; más bien, el problema es: si se da una ecuación tal como clip_image012, encontrar de alguna manera una función clip_image002[2] que satisfaga la ecuación. En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales.

DEFINICIÓN 1.1

Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con las tres propiedades siguientes:

clip_image013

Clasificación según el tipo

Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferecial ordinaria (EDO). Por ejemplo,

clip_image015

Son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial. Por ejemplo,

clip_image017

El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Por ejemplo,

clip_image019

es una ecuación ordinaria de segundo orden. Puesto que la ecuación diferencial clip_image021 puede llevarse a la forma

clip_image023

dividiendo entre clip_image025, es un ejemplo de ecuación diferencial parcial de primer orden.

El grado de una ecuación diferencial ordinaria es el grado algebraico de más alto orden en la ecuación. Por ejemplo,

clip_image027

es de tercer grado, porque la segunda derivada es la de más alto orden y está elevada al cubo, por lo tanto es una ecuación cúbica.

Una EDO general de orden n se representa a menudo mediante el símbolo

clip_image029

Taller:

El taller proporciona un cuestionario que le ayudará a reafirmar su comprensión del material tratado así como ejercicios que le darán experiencia en el uso de lo aprendido. Trate de comprender el cuestionario y de las respuestas antes de continuar con el siguiente Tema.

Cuestionario ED-P1-C1

Identifique las variables independientes, las variables dependientes y los parámetros en las ecuaciones dadas como ejemplos en esta sección.

Ejercicios EP-P1-E1

Para cada uno de los ejercicios siguientes, establézcase si la ecuación es ordinaria o parcial y dese su orden y grado.

1) clip_image002[8]

3) clip_image004[4]

5) clip_image006[4]

7) clip_image008[4]

9) clip_image010[4]

11) clip_image012[4]

13) clip_image014

15) clip_image016

2) clip_image018

4) clip_image020

6) clip_image022

8) clip_image024

10) clip_image026

12) clip_image028

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16) clip_image032

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